Persistent/insistent — repeatedly or stubbornly continuing an action, often annoyingly so.
勧誘の電話がしつこくて困っている。
I'm troubled by persistent solicitation calls.
彼はしつこく質問してきて、話が進まなかった。
He kept asking insistently, and the conversation couldn't move forward.
しつこいセールスマンは店の外までついてきた。
The persistent salesman followed me outside the store.
Too rich/greasy — an overpowering or cloying taste or smell that feels heavy.
このソースは味が濃くて少ししつこい。
This sauce is rich and a bit cloying.
脂の多い料理は食べ過ぎるとしつこく感じることがある。
Fatty dishes can feel heavy and cloying if you eat too much.