Extremely drunk; completely plastered (colloquial).
昨夜は飲みすぎてベロンベロンになった。
I drank too much last night and got completely plastered.
彼はいつも飲み会でべろんべろんになるので心配だ。
He always gets totally drunk at parties, so I'm worried.
電車でベロンベロンに酔っている人を見かけた。
I saw someone who was completely drunk on the train.
酔っ払って、べろんべろんになっていた。
He was drunk out of his mind.