Polite expression of volition: 'I will' (used to express the speaker's intention to do something).
その仕事は私がやりましょう。
I'll do that job.
手伝いましょうか？ ええ、お願いします。 — ではお願いします、手伝いましょう。
Shall I help? Yes, please. — Alright, I'll help.
今週末に返事を書きましょう。
I'll write the reply this weekend.
Polite invitation or suggestion meaning 'let's (do something)'. ('ましょ' is a colloquial shortened form.)
映画を見に行きましょうか。
Shall we go see a movie?
もう帰りましょう。／もう帰りましょ（口語）
Let's go home now. / Let's head home (colloquial).
さあ、出かけましょう。ましょはもっとくだけた言い方です。
Come on, let's go out. 'マショ' (ましょ) is a more casual way of saying it.
Polite expression of conjecture or probability, similar to 'probably' or 'will likely'.
明日は雨が降るましょう。
It will probably rain tomorrow.
彼は来るましょうが、時間は遅れるかもしれない。
He will probably come, but he might be late.
その本は図書館にあるましょう。
That book is probably in the library.