A humble, polite expression used to show gratitude, to preface a request or apology; commonly used in business and with superiors (kenjōgo).
恐れ入りますが、こちらにご署名をお願いします。
Excuse me, but could you please sign here?
ご連絡が遅くなり、恐れ入ります。すぐに対応いたします。
I apologize for the delay in contacting you. I will respond immediately.
恐れ入ります、こちらは本日休業となっております。
We apologize, but we are closed today.
恐れ入りますが、もう一度お名前を教えていただけますか。
Excuse me, but could you tell me your name once more?