A companion or partner — someone you act or cooperate with (e.g., a dance partner, companion).
昨日のパーティーで初めての相手と踊った。
I danced with a partner I’d never danced with before at yesterday’s party.
犬は一人暮らしの人にとっていい相手になることが多い。
A dog often becomes a good companion for someone living alone.
彼は仕事の相手と毎週ミーティングをしている。
He has weekly meetings with his business partner/clients.
The other party or addressee — the person you are talking to, negotiating with, or corresponding with.
電話の相手が雑音でよく聞こえなかった。
I couldn’t hear the person on the phone well because of noise.
交渉の相手は条件に厳しかった。
The negotiating counterparty was strict about the terms.
メールの相手に確認の返信を送った。
I sent a confirmation reply to the person I emailed.
An opponent — someone you compete or play against (in sports, games, debates, etc.).
今日は強い相手と試合をするので、気を引き締めて臨む。
We're playing against a strong opponent today, so I’ll stay focused.
彼女は相手チームのエースを攻略するための戦術を考えた。
She devised tactics to defeat the opposing team’s ace player.
新人選手がいきなり有力な相手に勝った。
The rookie beat a strong opponent right away.